等差数列求和公式，等差数列的求和公式是什么

发布时间：2025-01-08 热度：58

等差数列求和公式，等差数列的求和公式是什么

等差数列的求和公式有多种形式，以下是主要的几种：

1. 基本公式：

• (S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2})，其中(S_n)是前(n)项和，(a_1)是首项，(a_n)是第(n)项。

• (S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)d}{2})，其中(d)是公差。

2. 特殊情况：

• 当(n)为奇数时，(S_n = n \times \frac{a_{\frac{n + 1}{2}}}{2})，即和等于中间项乘以项数。

• 当(n)为偶数时，(S_n = \frac{n}{2}(a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2} + 1}))，即和等于中间两项和乘以项数的一半。

3. 其他推论：

• 首项(a_1 = \frac{2S_n}{n} - a_n)。

• 末项(a_n = \frac{2S_n}{n} - a_1)。

• 项数(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1)。

• 公差(d = \frac{a_n - a_1}{n - 1})。

4. 性质相关：

• 若(m, n, p, q \in N^*)，且(m + n = p + q)，则(a_m + a_n = a_p + a_q)。

• 若(m + n = 2p)，则(a_m + a_n = 2a_p)。

• 若(S_n)为前(n)项和，(S_{2n})为前(2n)项和，(S_{3n})为前(3n)项和，则(S_n, S_{2n} - S_n, S_{3n} - S_{2n})也为等差数列。