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13297143156 立即咨询发布时间：2025-02-10 热度：91
回归直线方程公式详解，回归直线方程公式
简单线性回归旨在找到一个线性关系来描述两个变量之间的相关性：一个独立变量（通常记作 (x)）和一个可能的依赖变量（通常记作 (y)）。通过这个线性关系，我们可以预测或估计缺失的数值，这种做法称为插值。
该方法基于最小二乘法的思想，即最小化所有数据点到拟合直线的垂直距离之和。考虑以下尝试绘制最佳拟合线的例子：
图1 和 图2 看起来都是合理的选择，但实际上 图3 是最准确的，因为它使用的是最小二乘回归线进行计算。
回归线的方程为：
[ \hat{y} = a + bx ]
其中：
(\hat{y}) 表示 (y) 的预测值，
(a) 称为截距，表示回归线与 (y) 轴相交的位置，
(b) 表示斜率，预测 (x) 每单位变化时 (y) 的变化量。
参数 (a) 和 (b) 可以按如下方式计算：
斜率 (b)：
[ b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \frac{\sum(xy) - \frac{\sum{x} \sum{y}}{n}}{\sum(x^2) - \frac{(\sum{x})^2}{n}} ]
截距 (a)：
[ a = \bar{y} - b\bar{x} ]
其中：
(\bar{x} = \frac{\sum{x}}{n}) 表示 (x) 的平均值，
(\bar{y} = \frac{\sum{y}}{n}) 表示 (y) 的平均值。
假设化学物质的质量 (y) （克）与其反应时间 (x) （秒）之间存在线性关系，具体数据如下表所示：
| 时间, (x) (秒) | 5 | 7 | 12 | 16 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| 质量, (y) (克) | 40 | 120 | 180 | 210 | 240 |
我们需要找出回归线的方程。
首先计算 (x) 和 (y) 的平均值：
[ \bar{x} = \frac{\sum{x}}{n} = \frac{5 + 7 + 12 + 16 + 20}{5} = 12 ]
[ \bar{y} = \frac{\sum{y}}{n} = \frac{40 + 120 + 180 + 210 + 240}{5} = 158 ]
然后利用下列表格计算所需值：
| (x_i) | (y_i) | (x_i - \bar{x}) | (y_i - \bar{y}) | ((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})) | ((x_i - \bar{x})^2) |
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 40 | -7 | -118 | 826 | 49 |
| 7 | 120 | -5 | -38 | 190 | 25 |
| 12 | 180 | 0 | 22 | 0 | 0 |
| 16 | 210 | 4 | 52 | 208 | 16 |
| 20 | 240 | 8 | 82 | 656 | 64 |
| 总计 | 1880 | 154 |
现在可以计算 (b)：
[ b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{1880}{154} = 12.208 ]
接着计算 (a)：
[ a = \bar{y} - b\bar{x} = 158 - 12.208 \times 12 = 11.506 ]
因此，回归线的方程为：
[ \hat{y} = 11.506 + 12.208x ]
为了了解学生一年内的反应技能提升情况，八名学生在年初和年末各参加了一次测试，得分如下表所示：
| 学生 | Liam | Felicity | Adian | Mel | Leroy | Vic | Lawrie | Louise |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 第一次测试, (x) | 56 | 75 | 61 | 61 | 67 | 72 | 62 | 61 |
| 第二次测试, (y) | 21 | 39 | 34 | 21 | 32 | 24 | 29 | 24 |
已知：
[ \sum{x} = 515, \quad \sum{y} = 224, \quad \sum{x^2} = 33441, \quad \sum{y^2} = 6576, \quad \sum{xy} = 14590 ]
我们需要找出回归线的方程。
我们已经知道最小二乘回归线的方程为：
[ \hat{y} = a + bx ]
给定一些总和值，我们将使用以下公式计算 (b)：
[ b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{\sum(xy) - \frac{\sum{x} \sum{y}}{n}}{\sum(x^2) - \frac{(\sum{x})^2}{n}} ]
代入已知值得：
[ b = \frac{14590 - \frac{515 \times 224}{8}}{33441 - \frac{515^2}{8}} = 0.590 ]
接下来计算 (a) 需要先求出 (x) 和 (y) 的平均值：
[ \bar{x} = \frac{\sum{x}}{n} = \frac{515}{8} = 64.375 ]
[ \bar{y} = \frac{\sum{y}}{n} = \frac{224}{8} = 28 ]
[ a = \bar{y} - b\bar{x} = 28 - (0.590 \times 64.375) = -10.016 ]
所以回归线的方程为：
[ \hat{y} = -10.016 + 0.590x ]
简单线性回归线 (\hat{y} = a + bx) 可以这样理解：
(\hat{y}) 是 (y) 的预测值，
(a) 是截距，表示回归线与 (y) 轴相交的位置，
(b) 表示 (x) 每单位变化时 (y) 的变化量。
我们还可以使用回归线方程来寻找缺失数据的大致值，但这在数据范围之外进行估计是不可靠的。
使用之前关于化学物质质量随时间增加的数据，我们得出回归线方程为 (\hat{y} = 11.506 + 12.208x)。这表明时间每增加 1 分钟，化学物质的质量增加 12.208 克。当时间为零时（即 (x) 为零），初始质量为 11.506 克。
问题 ：十秒后化学物质的质量是多少？
解答 ：将时间 (x = 10) 代入方程计算 (\hat{y})：
[ \hat{y} = 11.506 + 12.208 \times 10 = 133.586 ]
这意味着实验进行了 10 秒后，化学物质的质量为 133.586 克。可以通过散点图检查此值是否合理。
问题 ：五秒内化学物质的质量增加了多少？
解答 ：由于每分钟质量增加 12.208 克，因此五秒内质量增加量为：
[ 12.208 \times \frac{5}{60} \approx 1.017 \text{ 克} ]
问题 ：化学物质质量增加 50 克需要多长时间？
解答 ：因为每分钟质量增加 12.208 克，所以增加 50 克所需的时间为：
[ \frac{50}{12.208} \approx 4.095 \text{ 分钟} ]
通过以上详细解析，希望你对回归直线方程有了全面的理解，并能熟练应用于实际问题中。如有更多问题，欢迎继续探讨！
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