欧拉方程微分方程详解，微分方程欧拉方程解法

发布时间：2025-02-10 热度：64

欧拉方程微分方程详解，微分方程欧拉方程解法

欧拉方程微分方程详解

1. 基本概念

形如：

[ x^n y^{(n)} + P_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \dots + P_{n-1} x y' + P_n y = f(x) ]

的方程，其中 ( P_1, P_2, \dots, P_n ) 为常数，被称为欧拉方程。这种方程是一种特殊的变系数线性微分方程。

2. 解决方法

为了解这类方程，通常采用的方法是变量替换。令 ( x = e^t )，即将自变量 ( x ) 换成 ( t )。此时有：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dt} ]

进一步计算更高阶导数，例如：

[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d \left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx} = \frac{d \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right)}{dx} = -\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d \left( \frac{dy}{dt} \right)}{dx} = -\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x^2} \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) ]

类似地，可以得到：

[ \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{1}{x^3} \left( \frac{d^3y}{dt^3} - 3 \frac{d^2y}{dt^2} + 2 \frac{dy}{dt} \right) ]

如果用算符 ( D ) 表示对 ( t ) 求导的运算，即 ( D = \frac{d}{dt} )，那么上述式子可以写为：

[ xy' = Dy, \quad x^2 y'' = D(D-1)y, \quad x^3 y''' = D(D-1)(D-2)y ]

因此，可以归纳出：

[ x^k y^{(k)} = D(D-1)(D-2) \cdots (D-k+1)y ]

将此式代入原方程，就可以得到一个以 ( t ) 为自变量的常系数线性微分方程，最终再用 ( t = \ln x ) 反代回原变量即可得到方程的解。

3. 例题解析

考虑欧拉方程：

[ x^3 y''' + x^2 y'' - 4x y' = 3x^2 ]

首先作变换 ( x = e^t )，那么原方程变为：

[ D(D-1)(D-2)y + D(D-1)y - 4Dy = 3e^{2t} ]

化简后得到：

[ D^3 y - 2D^2 y - 3D y = 3e^{2t} ]

此时方程对应的齐次方程为：

[ \frac{d^3 y}{dt^3} - 2 \frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} = 0 ]

其特征方程为：

[ r^3 - 2r^2 - 3r = 0 ]

容易求得其解为 ( r_1 = 0, r_2 = -1, r_3 = 3 )

因此，齐次方程的通解为：

[ Y = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 e^{3t} ]

由于方程右边 ( 3e^{2t} ) 是 ( P_m e^{\lambda x} ) 型的微分方程，可以求得特解为：

[ y_p = -\frac{1}{2} e^{2t} ]

因此，原方程的通解为：

[ y = C_1 + C_2 e^{-t} + C_3 e^{3t} - \frac{1}{2} e^{2t} ]

反代 ( t = \ln x )，得到：

[ y = C_1 + C_2 x^{-1} + C_3 x^3 - \frac{1}{2} x^2 ]

这就是原欧拉方程的通解。

总结

通过以上步骤，我们可以看到解决欧拉方程的关键在于变量替换以及将变系数方程转换为常系数方程。这种方法不仅适用于低阶方程，也适用于高阶欧拉方程。希望这篇详细的解析能帮助大家更好地理解和掌握欧拉方程的解法。